 
ЗАНЯТИЕ 4 Равномерное и равнопеременное движение по
окружности
ТЕМА 1 Равномерное движение по окружности Движение (вращение) с постоянной угловой скоростью называется
равномерным. Угловая скоростьw направлена вдоль оси, вокруг которой вращается
тело, в сторону, определяемую правилом правого винта. Модуль угловой скорости равен w = dr/dt. Модуль линейной и угловой скоростей связаны соотношением v=w*R, где R -радиус окружности, по которой происходит вращение.
Если вращение является равномерным, то w = angle/t, где angle -
конечный угол поворота за время t. При равномерном вращении угловая скорость показывает, на какой
угол поворачивается тело за единицу времени. Центростремительное (нормальное) ускорение
направлено при движении к центру окружности и равно a_n =v*v/R= w*w*R.
Равномерное вращение характеризуется периодом обращения T, под которым понимают время, за которое тело делает один оборот, т.е. поворачивается на угол
2*3,14 = 6,28 рад. Период вращения равен T=6,28/w.
ТЕМА 2 Равнопеременное движение по окружности Если начальная линейная скорость v0 и тангенциальное ускорение
a_t положительны (v0 >0,a_t >0) , то тело будет двигаться равноускоренно против часовой стрелки. Начальная угловая
скорость тела равна w0 = v0/R, угловое ускорение b = a_t /R. Зависимость пройденного линейного
пути от времени описывается уравнением S(t)= v0*t + a_t *t*t/2. Линейный
путь, равный длине окружности S=2*3,14*R , тело пройдет за время T=(-v0 +sqrt (v0*v0 + 2
*a_t*S))/a_t . Угловой путь равный длине окружности angle_complete = 2*3,14 =6,28 рад. Линейная и угловая
скорости изменяются в соответствии с уравнениями v=v0 +a_t*t, w =w0 +b*t.
Если скорость и ускорение отрицательны (v0 < 0, a_t <
0), тело будет двигаться по часовой стрелки равноускоренно. Модуль начальной
угловой скорости, углового ускорения, пройденного за определенное время пути, а также периода и углового ускорения вычисляются аналогично предыдущему случаю, но при расчете надо использовать модули величин v0 и a_t. В случае, если
скорость положительна, а ускорение отрицательно
( v0 >0,a_t < 0), тела двигается замедленно в течение времени t_st=
v0 /abs(a_t ), останавливается, а затем двигается равноускоренно, и пройдя полный оборот, возвращается в исходную точку. Все время движения
равно в этом случае T=T1 + T0, где T1=2*v0/abs(a_t), T0=(-v0 + sqrt(v0*v0 +
2 *abs(a_t)*S))/abs(a_t). Пройденный линейный и угловой пути равны, соответственно, S = v0*v0/abs(a_t)+2*3,14*R,
angle_complete=w0 *w0/abs(b) + 2*3,14. Например, если R=120м, v0=30 м/с, a_t=-5м/(c*c), то
пройденный линейный путь
составляет S=2*30*30/(2*5)+2*3,14*120 =934м, начальная угловая скорость w0=v0/R =30/120=0,25рад/с. Угловой путь ang_complete=2*0,25*0,25/(2*0,042)+2*3,14 =
7,8 рад. Время
движения равно T=2*30/5 + (-30+sqrt(30*30+4*3,14*120*5))/5
= 24,4c. За время t=10c , тело пройдет путь равный S= v0*v0/(2*abs(a_t) )+ abs(a_t)*(t-t_st)*(t-t_st)/2, где t_st=v0/abs(a_t) – время от начала движения до остановки,
t_st =30/5= 6c. Путь, пройденный за 10с
St=30*30/(2*5)
+ 5*(10- 6)*(10-6)/2 = 130м, угловой путь ang_path=2*0,25*0,25/(2*0,042)+0,05*(10-6)*(10-6)/2
= 1,1 рад. Линейная
и угловая скорости в момент времени t=10 c равны, соответственно, v= 30 -5*10 =
-20м/с,
w= 0,25 - 0,042*10 =
-0,17 рад/с. В
случае, если скорость отрицательна, а
ускорение положительно ( v0 < 0,at > 0), тело двигается замедленно в
течение времени T0= abs(v0 )/a_t, останавливается, а затем двигается равноускоренно, и пройдя полный оборот, возвращается в исходную точку. Все
время движения составляет в этом случае
T=T1 + T0, где T1=2*abs(v0)/a_t,
T0=(-abs(v0) + sqrt(v0*v0 + 2 *a_t*S))/a_t.Пройденный линейный
и угловой пути равны, соответственно, S = v0*v0/a_t+2*3,14*R, angle_complete=w0*w0/b+ 2*3,14.
|